Elliptical curve cryptography (ECC) működése: Nyilvános kulcsú titkosítási technika ellipszisgörbe elmélet alapján

A digitális világban zajló kommunikáció és adatcsere biztonsága alapvető fontosságú. A modern kriptográfia számos eszközt kínál erre a célra, amelyek közül a nyilvános kulcsú titkosítási technikák különösen kiemelkedőek. Ezek a módszerek lehetővé teszik, hogy két fél biztonságosan kommunikáljon egymással anélkül, hogy előzetesen titkos kulcsot cseréltek volna. A legismertebb ilyen algoritmusok közé tartozik az RSA és a Diffie-Hellman kulcscsere, azonban az utóbbi évtizedekben egyre nagyobb teret nyer az elliptikus görbe kriptográfia (ECC), amely egy kifinomultabb matematikai elméleten alapul, és számos előnyt kínál, különösen a hatékonyság és a biztonság terén.

Az ECC nem egyszerűen egy újabb titkosítási algoritmus, hanem egy teljesen más matematikai alapokon nyugvó paradigma, amely az ellipszisgörbék geometriai tulajdonságait használja ki. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy azonos biztonsági szintet sokkal rövidebb kulcsméretekkel érjünk el, ami jelentős előnyökkel jár a számítási teljesítmény, a tárhely és a sávszélesség szempontjából. Ez különösen kritikussá válik olyan erőforrás-korlátozott környezetekben, mint az IoT eszközök, mobiltelefonok vagy blokklánc rendszerek. Ahhoz, hogy megértsük az ECC működését, először is meg kell ismernünk a nyilvános kulcsú kriptográfia alapjait, majd bele kell merülnünk az ellipszisgörbék lenyűgöző világába és az azokon végezhető speciális matematikai műveletekbe.

A nyilvános kulcsú kriptográfia alapjai és korlátai

A nyilvános kulcsú kriptográfia, más néven aszimmetrikus kriptográfia, egy olyan titkosítási rendszer, amely egy kulcspárt használ: egy nyilvános kulcsot és egy privát (titkos) kulcsot. A nyilvános kulcs szabadon megosztható bárkivel, míg a privát kulcsot szigorúan titokban kell tartania a tulajdonosának. A rendszer lényege, hogy a nyilvános kulccsal titkosított üzeneteket csak a hozzá tartozó privát kulccsal lehet visszafejteni, és fordítva, a privát kulccsal aláírt üzenetek hitelessége a nyilvános kulccsal ellenőrizhető. Ez a mechanizmus forradalmasította a biztonságos kommunikációt, hiszen kiküszöbölte a kulcscsere problémáját, ami a szimmetrikus kriptográfia egyik legnagyobb kihívása volt.

A hagyományos nyilvános kulcsú algoritmusok, mint például az RSA (Rivest–Shamir–Adleman) vagy a Diffie-Hellman kulcscsere, általában nagy prímszámok szorzatán vagy diszkrét logaritmus problémán alapulnak. Ezeknek az algoritmusoknak a biztonsága azon a matematikai tényen nyugszik, hogy bizonyos műveletek (pl. nagy számok faktorizálása vagy diszkrét logaritmus számítása) rendkívül nehezek és időigényesek még a legerősebb számítógépek számára is, ha a kulcsméret elegendően nagy. Például az RSA esetében a biztonság a nagy számok prímtényezőkre bontásának nehézségére épül, míg a Diffie-Hellman a véges testekben történő diszkrét logaritmus probléma nehézségét használja ki.

Azonban a számítási teljesítmény folyamatos növekedésével és az algoritmikus fejlesztésekkel párhuzamosan a hagyományos nyilvános kulcsú algoritmusok biztonsági szintjének fenntartásához egyre nagyobb kulcsméretekre van szükség. Egy 1024 bites RSA kulcs, amelyet korábban biztonságosnak tartottak, ma már nem elegendő a hosszú távú védelemhez; ehelyett 2048 vagy akár 4096 bites kulcsokat használnak. Ez a növekedés azonban jelentős hátrányokkal jár: a nagyobb kulcsok hosszabb számítási időt, több energiát és nagyobb sávszélességet igényelnek. Ez a probléma különösen élesen jelentkezik azokban az alkalmazásokban, ahol az erőforrások korlátozottak, vagy ahol a gyorsaság kritikus tényező.

Az aszimmetrikus kriptográfia forradalmasította a biztonságos kommunikációt, de a hagyományos módszerek, mint az RSA, egyre nagyobb kulcsméretet igényelnek a fenntartható biztonság érdekében, ami hatékonysági kompromisszumokkal jár.

Ezek a korlátok hívták életre az alternatív, hatékonyabb nyilvános kulcsú rendszerek iránti igényt, amelyek képesek azonos biztonsági szintet nyújtani kisebb kulcsméretekkel. Az elliptikus görbe kriptográfia (ECC) éppen erre a kihívásra ad választ, egy teljesen új matematikai alapra építve, amely lehetővé teszi a kulcsméretek drasztikus csökkentését anélkül, hogy a biztonság rovására menne.

Mi az az ellipszisgörbe? Matematikai alapok

Az elliptikus görbe egy olyan matematikai objektum, amelynek alapvető szerepe van az ECC működésében. Nem tévesztendő össze az ellipszissel, amelyet a kör „lapított” formájaként ismerünk. Az ellipszisgörbe egy síkbeli görbe, amelyet egy speciális egyenlet ír le. A kriptográfiában leggyakrabban használt forma a Weierstrass-egyenlet, amely a következőképpen néz ki:

y^2 = x^3 + ax + b

Ebben az egyenletben x és y valós számok, és a és b is valós szám konstansok. Ahhoz, hogy egy görbe ellipszisgörbének minősüljön, egy fontos feltételnek kell teljesülnie: a görbének nem lehetnek szinguláris pontjai, azaz nem lehetnek éles csúcsai vagy önmetsző pontjai. Ezt a feltételt matematikailag a diszkrimináns segítségével ellenőrizzük:

4a^3 + 27b^2 ≠ 0

Ha ez a feltétel teljesül, akkor a görbe sima, és alkalmas kriptográfiai célokra. Ha valós számok felett ábrázoljuk, az ellipszisgörbéknek jellegzetes, szimmetrikus alakjuk van az x-tengelyre nézve. Fontos megjegyezni, hogy bár a vizuális megjelenítés segít megérteni a geometriai tulajdonságokat, a kriptográfiában nem valós számok, hanem véges testek felett definiáljuk ezeket a görbéket.

Az ellipszisgörbe pontjainak halmaza, kiegészítve egy speciális, úgynevezett végtelenben lévő ponttal (point at infinity), egy matematikai csoportot alkot. Ez a csoportstruktúra az, ami lehetővé teszi a kriptográfiai műveleteket. A végtelenben lévő pont (jelölése gyakran O vagy 0) a csoport neutrális eleme, hasonlóan a nullához az összeadásnál vagy az egyeshez a szorzásnál. Geometriailag úgy képzelhetjük el, mint az y-tengely mentén a végtelenbe mutató egyenesek metszéspontját.

Az ellipszisgörbe pontjai közötti műveletek a pontösszeadás és a skalárszorzás. Ezek a műveletek képezik az ECC magját. Lássuk, hogyan működnek valós számok felett, mielőtt áttérnénk a kriptográfiában használt véges testekre:

Pontösszeadás valós számok felett

Az ellipszisgörbén két pont, P és Q összeadása, egy harmadik pontot, R-t eredményez. Ez az összeadás geometriailag a következőképpen definiálható:

1. Húzzunk egy egyenes vonalat P és Q pontokon keresztül.
2. Ez az egyenes metszi az ellipszisgörbét egy harmadik pontban, jelöljük ezt R'-vel.
3. Vegyük R' x-tengelyre vonatkozó tükörképét. Ez lesz az R pont, azaz P + Q = R.

Ha P = Q, azaz önmagával adunk össze egy pontot (ezt hívjuk pontduplázásnak), akkor a P ponton keresztül húzott érintőt kell megrajzolni. Az érintő metszi a görbét egy másik pontban, R'-ben, és ennek a pontnak a tükörképe lesz az eredmény R. Vagyis P + P = 2P.

Ezek a geometriai műveletek algebrai formulákkal is kifejezhetők. Például, ha P = (x1, y1) és Q = (x2, y2) két különböző pont, akkor R = (x3, y3) koordinátái a következők:

lambda = (y2 - y1) / (x2 - x1) (az egyenes meredeksége)

x3 = lambda^2 - x1 - x2

y3 = lambda * (x1 - x3) - y1

Ha P = Q, azaz pontduplázásról van szó, akkor az érintő meredekségét vesszük:

lambda = (3x1^2 + a) / (2y1) (az egyenlet deriváltjából)

x3 = lambda^2 - 2x1

y3 = lambda * (x1 - x3) - y1

Fontos esetek:

• Ha a P és Q pontokon áthaladó egyenes függőleges (azaz x1 = x2 és y1 = -y2), akkor az egyenes a végtelenben lévő pontot metszi. Ebben az esetben P + Q = O (a végtelenben lévő pont).
• Ha P pontot adunk össze a végtelenben lévő ponttal, az eredmény P lesz: P + O = P.

Skalárszorzás

A skalárszorzás az ECC legfontosabb művelete. Ez egy pont ismételt összeadását jelenti önmagával. Például, ha egy P pontot megszorzunk egy k egésszel, az eredmény kP lesz, ami P + P + ... + P (k alkalommal). Ez a művelet hasonlít a hagyományos kriptográfiában használt hatványozáshoz, de itt pontokról van szó az ellipszisgörbén.

A kP kiszámítása hatékonyan történhet, például a „kétszeres és összeadás” (double-and-add) algoritmussal, ami a bináris hatványozáshoz hasonló. Ennek a műveletnek a kulcsfontosságú tulajdonsága az, hogy bár kP kiszámítása viszonylag könnyű, ha ismerjük k-t, addig k meghatározása P és kP ismeretében rendkívül nehéz. Ezt nevezzük elliptikus görbe diszkrét logaritmus problémának (ECDLP), és ez az ECC biztonságának alapja.

A valós számok feletti ellipszisgörbék azonban nem alkalmasak kriptográfiai célokra. Ennek oka, hogy a valós számok folytonosak, ami lehetővé tenné a pontok közötti „ugrások” vagy interpolációk használatát a k értékének becsléséhez. A kriptográfiához diszkrét, véges halmazra van szükség, ahol nincs „köztes” érték. Ezért alkalmazzák a véges testeket.

Véges testek és az ellipszisgörbék diszkrét világa

A kriptográfiában az ellipszisgörbéket nem a valós számok, hanem véges testek (Galois-testek) felett definiálják. A véges testek lényege, hogy a bennük lévő elemek száma véges, és az összes aritmetikai művelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) is ezen a véges halmazon belül marad. Ez diszkrét, nem folytonos pontokat eredményez, ami elengedhetetlen a kriptográfiai biztonsághoz.

Két fő típusa van a kriptográfiában használt véges testeknek:

1. Prímtestek (Prime Fields, Fp vagy GF(p)): Ezek olyan testek, amelyek elemei a 0, 1, ..., p-1 egész számok, ahol p egy nagy prímszám. Az aritmetikai műveleteket modulo p végezzük. Ez azt jelenti, hogy minden eredményt elosztunk p-vel, és a maradékot vesszük. Például, ha p=7, akkor (5+4) mod 7 = 9 mod 7 = 2. Az osztás (multiplikatív inverz) is definiálható, például 3 * x mod 7 = 1, ahol x=5, mert 3*5 = 15, és 15 mod 7 = 1.
2. Bináris testek (Binary Fields, F2^m vagy GF(2^m)): Ezek olyan testek, amelyek elemei 2^m számú polinomok, ahol a koefficiens értékek csak 0 vagy 1 lehetnek (azaz modulo 2). Az aritmetikai műveleteket polinomok moduláris aritmetikájával végezzük egy irreducibilis polinom felett. Ezeket a testeket gyakran használják hardveres implementációkban, mivel a bitműveletekkel hatékonyan megvalósíthatók.

Az ellipszisgörbe egyenlete véges test felett a következőképpen módosul:

y^2 = x^3 + ax + b (mod p)

Itt x, y, a és b elemek a Fp testből, és minden számítás modulo p történik. A diszkrimináns feltétel is érvényes: 4a^3 + 27b^2 ≠ 0 (mod p).

Pontösszeadás és skalárszorzás véges testek felett

A geometriai értelmezés nehezen vizualizálható véges testek felett, mivel a pontok diszkrétek és nincs folytonos görbe. Azonban az algebrai formulák továbbra is érvényesek, csak a műveleteket modulo p kell elvégezni. Például, ha P = (x1, y1) és Q = (x2, y2) két különböző pont Fp felett, akkor R = (x3, y3) koordinátái a következők:

lambda = (y2 - y1) * (x2 - x1)^(-1) mod p

x3 = (lambda^2 - x1 - x2) mod p

y3 = (lambda * (x1 - x3) - y1) mod p

Itt (x2 - x1)^(-1) a (x2 - x1) multiplikatív inverzét jelenti modulo p. Ez az inverz a kiterjesztett euklideszi algoritmussal számítható ki.

A pontduplázás (P = Q) formulái is hasonlóan módosulnak:

lambda = (3x1^2 + a) * (2y1)^(-1) mod p

x3 = (lambda^2 - 2x1) mod p

y3 = (lambda * (x1 - x3) - y1) mod p

A skalárszorzás kP továbbra is a k-szori pontösszeadást jelenti, és ez a művelet a véges testek diszkrét természetének köszönhetően biztonságos. A kP kiszámítása egyszerű, de k meghatározása P és kP ismeretében rendkívül nehéz, ha p és k elég nagyok. Ez az elliptikus görbe diszkrét logaritmus probléma (ECDLP), ami az ECC biztonságának alapja.

ECC kulcsgenerálás: Nyilvános és privát kulcsok

Az ECC kulcsgenerálás folyamata során egy nyilvános és egy privát kulcspár jön létre, amelyeket aztán titkosításra, digitális aláírásra vagy kulcscserére lehet használni. Mielőtt azonban kulcsokat generálhatnánk, először meg kell határozni az ellipszisgörbe paramétereit, amelyek a rendszer biztonságának és interoperabilitásának alapját képezik.

Ellipszisgörbe paraméterek (Domain Parameters)

Minden ECC rendszer egy előre meghatározott ellipszisgörbe felett működik. Ezeket az úgynevezett domain paramétereket gondosan kiválasztják, és a kriptográfiai közösség szabványosítja őket. A paraméterek a következők:

1. p (vagy m): A véges test meghatározása. Prímtestek esetén p egy nagy prímszám, bináris testek esetén m a test méretét adja meg (2^m).
2. a és b: Az ellipszisgörbe egyenletének konstansai (y^2 = x^3 + ax + b mod p).
3. G: Egy alap (generátor) pont az ellipszisgörbén. Ez egy előre kiválasztott pont, amelynek segítségével az összes többi pont generálható. A G pont rendje (azaz az a legkisebb n egész szám, amelyre nG = O, a végtelenben lévő pont) egy nagy prímszám kell, hogy legyen.
4. n: A G pont rendje. Ez a szám adja meg, hogy hány különböző pontot lehet generálni G-ből a skalárszorzás műveletével, mielőtt visszatérnénk a végtelenben lévő pontba. n-nek egy nagy prímszámnak kell lennie a biztonság érdekében.
5. h: A kofaktor, amely h = |E(Fp)| / n, ahol |E(Fp)| az ellipszisgörbén lévő összes pont száma (beleértve a végtelenben lévő pontot is). Ideális esetben h=1, de gyakran h egy kis egész szám (pl. 2 vagy 4).

Ezeket a paramétereket szabványosított görbék formájában teszik közzé (pl. NIST P-256, secp256k1), hogy biztosítsák az interoperabilitást és elkerüljék a gyenge görbék használatát, amelyek biztonsági réseket rejthetnek magukban. A secp256k1 görbe például a Bitcoin és számos más kriptovaluta alapja.

Privát kulcs generálása

A privát kulcs egy egyszerű, véletlenszerűen kiválasztott egész szám. Ezt a számot d-vel jelöljük, és meg kell felelnie a 1 < d < n feltételnek, ahol n az alap pont G rendje. A privát kulcsot abszolút titokban kell tartani, hiszen ez az egyetlen érték, amely lehetővé teszi a titkosított üzenetek visszafejtését vagy a digitális aláírások létrehozását. A privát kulcs kiválasztásának véletlenszerűsége kritikus a biztonság szempontjából, ezért megbízható véletlenszám-generátorokat (CSPRNG) kell használni.

Nyilvános kulcs generálása

A nyilvános kulcsot a privát kulcsból és az ellipszisgörbe paramétereiből származtatjuk. A nyilvános kulcs Q egy pont az ellipszisgörbén, amelyet a privát kulcs d és az alap pont G skalárszorzataként számolunk ki:

Q = d * G

Ez a művelet, mint már említettük, viszonylag könnyen elvégezhető. A Q pont koordinátái (x, y) alkotják a nyilvános kulcsot. A nyilvános kulcs szabadon megosztható bárkivel, mivel az ECDLP nehézsége miatt rendkívül nehéz (gyakorlatilag lehetetlen) a Q és G ismeretében visszafejteni az eredeti d privát kulcsot. Ez a matematikai aszimmetria adja az ECC biztonságát.

Összefoglalva, a kulcsgenerálás során a felhasználó először kiválasztja a szabványosított görbe paramétereit (vagy egy meglévő szabványt használ), majd generál egy véletlenszerű privát kulcsot d, és ebből számítja ki a hozzá tartozó nyilvános kulcsot Q = dG. A Q pontot (a nyilvános kulcsot) megosztja másokkal, míg d-t (a privát kulcsot) titokban tartja.

Kulcscsere az ECC-vel: ECDH (Elliptic Curve Diffie-Hellman)

Az Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) algoritmus az ECC egyik legfontosabb alkalmazása, amely lehetővé teszi két fél számára, hogy egy közös titkos kulcsot hozzanak létre egy nem biztonságos kommunikációs csatornán keresztül, anélkül, hogy valaha is megosztották volna egymással a privát kulcsukat. Ez a mechanizmus kulcsfontosságú az SSL/TLS, VPN-ek és más biztonságos protokollok működéséhez.

Az ECDH a hagyományos Diffie-Hellman kulcscsere ellipszisgörbe alapú adaptációja, amely a skalárszorzás tulajdonságaira épül.

Tegyük fel, hogy Alice és Bob szeretnének biztonságosan kommunikálni, és ehhez egy közös titkos kulcsra van szükségük. Mindketten előzetesen megegyeznek egy elliptikus görbe domain paramétereiben (p, a, b, G, n, h).

Az ECDH folyamata lépésről lépésre:

1. Kulcsgenerálás (Alice):
   • Alice véletlenszerűen kiválaszt egy privát kulcsot: dA (egy egész szám 1 < dA < n).
   • Alice kiszámítja a hozzá tartozó nyilvános kulcsot: QA = dA * G (egy pont az ellipszisgörbén).
2. Kulcsgenerálás (Bob):
   • Bob véletlenszerűen kiválaszt egy privát kulcsot: dB (egy egész szám 1 < dB < n).
   • Bob kiszámítja a hozzá tartozó nyilvános kulcsot: QB = dB * G (egy pont az ellipszisgörbén).
3. Nyilvános kulcsok cseréje:
   • Alice elküldi QA nyilvános kulcsát Bobnak.
   • Bob elküldi QB nyilvános kulcsát Alice-nek.

   Ez a csere történhet nem biztonságos csatornán keresztül, mivel a nyilvános kulcsokból nem lehet visszafejteni a privát kulcsokat az ECDLP nehézsége miatt.

4. Közös titkos kulcs számítása (Alice):
   • Alice fogja Bob nyilvános kulcsát (QB) és megszorozza a saját privát kulcsával (dA).
   • Alice kiszámítja: S_Alice = dA * QB.
   • Mivel QB = dB * G, ezért S_Alice = dA * (dB * G) = (dA * dB) * G.
5. Közös titkos kulcs számítása (Bob):
   • Bob fogja Alice nyilvános kulcsát (QA) és megszorozza a saját privát kulcsával (dB).
   • Bob kiszámítja: S_Bob = dB * QA.
   • Mivel QA = dA * G, ezért S_Bob = dB * (dA * G) = (dB * dA) * G.

A pontszorzás asszociatív tulajdonsága miatt (dA * dB) * G = (dB * dA) * G, tehát S_Alice = S_Bob. Mindketten ugyanazt a pontot kapják meg, amelynek koordinátái (vagy valamilyen deriváltja, pl. az x-koordináta) képezik a közös titkos kulcsot. Ezt a kulcsot aztán felhasználhatják egy szimmetrikus titkosító algoritmusban (pl. AES) az üzenetek titkosítására és visszafejtésére.

Az ECDH algoritmus lehetővé teszi két fél számára, hogy egy nem biztonságos csatornán keresztül is biztonságosan hozzanak létre egy közös titkos kulcsot, kihasználva az ellipszisgörbe skalárszorzásának aszimmetrikus tulajdonságát.

Egy harmadik fél (Eve), aki lehallgatja a kommunikációt, látja QA-t és QB-t, de az ECDLP nehézsége miatt nem tudja visszafejteni dA-t vagy dB-t. Ennek következtében nem képes kiszámítani a közös titkos kulcsot (dA * dB) * G-t sem. Ez biztosítja az ECDH kulcscsere biztonságát.

ECC titkosítás: ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme)

Az Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme (ECIES) egy hibrid titkosítási séma, amely az ECC előnyeit ötvözi a szimmetrikus titkosítás hatékonyságával. Míg az ECDH csak egy közös titkos kulcs létrehozására szolgál, addig az ECIES egy teljes körű megoldást nyújt üzenetek titkosítására és visszafejtésére az ellipszisgörbe kriptográfia segítségével.

Az ECIES alapvetően egy kulcsbeágyazási (key encapsulation) mechanizmusra épül, ahol az ECC-t egy szimmetrikus kulcs biztonságos átvitelére használják, majd ezt a szimmetrikus kulcsot használják fel a tényleges üzenet titkosítására. Ez a hibrid megközelítés a leggyakoribb a nyilvános kulcsú titkosításban, mivel a szimmetrikus algoritmusok (pl. AES) sokkal gyorsabbak nagy adatmennyiségek titkosítására, mint az aszimmetrikus algoritmusok.

Tegyük fel, hogy Alice titkos üzenetet szeretne küldeni Bobnak. Bobnak van egy privát kulcsa dB és egy nyilvános kulcsa QB = dB * G. Alice ismeri Bob nyilvános kulcsát QB.

Az ECIES titkosítási folyamata (Alice részéről):

1. Ad-hoc kulcspár generálása:
   • Alice véletlenszerűen kiválaszt egy ideiglenes privát kulcsot: k (egy egész szám 1 < k < n).
   • Alice kiszámítja a hozzá tartozó ideiglenes nyilvános kulcsot: R = k * G (egy pont az ellipszisgörbén). Ezt a pontot gyakran "ephemerális nyilvános kulcsnak" nevezik.
2. Közös titkos pont számítása:
   • Alice Bob nyilvános kulcsát (QB) megszorozza a saját ideiglenes privát kulcsával (k).
   • Alice kiszámítja: S = k * QB.
   • Mivel QB = dB * G, ezért S = k * (dB * G) = (k * dB) * G.
3. Szimmetrikus kulcs származtatása:
   • Alice ebből az S pontból (vagy annak x-koordinátájából) egy kulcsgeneráló függvénnyel (KDF - Key Derivation Function) származtat egy szimmetrikus titkosító kulcsot (K_sym) és egy MAC kulcsot (K_mac). A KDF biztosítja, hogy a kulcsok megfelelő véletlenszerűséggel és hosszúsággal rendelkezzenek.
4. Üzenet titkosítása:
   • Alice a K_sym szimmetrikus kulcsot használva titkosítja az eredeti üzenetet (M) egy szimmetrikus titkosító algoritmussal (pl. AES). Az eredmény a titkosított üzenet (C).
5. Üzenet integritásának biztosítása:
   • Alice a K_mac kulccsal egy üzenet-hitelesítő kódot (MAC - Message Authentication Code) generál a titkosított üzenetből (C) és esetlegesen egyéb kiegészítő adatokból (AAD - Additional Authenticated Data). Az eredmény a T MAC címke.
6. Titkosított üzenet elküldése:
   • Alice elküldi Bobnak a következő csomagot: (R, C, T). Ez tartalmazza az ideiglenes nyilvános kulcsot (R), a titkosított üzenetet (C) és a MAC címkét (T).

Az ECIES visszafejtési folyamata (Bob részéről):

1. Közös titkos pont számítása:
   • Bob megkapja az (R, C, T) csomagot.
   • Bob az Alice által küldött ideiglenes nyilvános kulcsot (R) megszorozza a saját privát kulcsával (dB).
   • Bob kiszámítja: S' = dB * R.
   • Mivel R = k * G, ezért S' = dB * (k * G) = (dB * k) * G.

   Mivel (k * dB) * G = (dB * k) * G, ezért S = S'. Bob ugyanazt a közös titkos pontot kapja meg, mint Alice.

2. Szimmetrikus kulcsok származtatása:
   • Bob ugyanazt a KDF-et használja, mint Alice, hogy az S' pontból származtassa a K_sym és K_mac kulcsokat.
3. Üzenet integritásának ellenőrzése:
   • Bob a kapott C titkosított üzenetből és a K_mac kulcsból kiszámít egy új MAC címkét (T').
   • Bob összehasonlítja T'-t az Alice által küldött T címkével. Ha nem egyeznek, az üzenet manipulálódott, vagy hibás kulccsal próbálták visszafejteni, és el kell vetni.
4. Üzenet visszafejtése:
   • Ha a MAC ellenőrzés sikeres, Bob a K_sym kulccsal visszafejti a C titkosított üzenetet, hogy megkapja az eredeti M üzenetet.

Az ECIES biztosítja mind az üzenet bizalmasságát (csak a címzett tudja visszafejteni), mind az integritását és hitelességét (ellenőrizhető, hogy az üzenet nem módosult, és valóban az eredeti küldőtől származik). Az efemerális kulcs használata (k és R) biztosítja az úgynevezett előretekintő titkosságot (forward secrecy), ami azt jelenti, hogy ha Bob privát kulcsa dB később kompromittálódik, az sem teszi lehetővé a korábbi kommunikációk visszafejtését, mivel az ideiglenes k kulcsot elvetik az üzenet elküldése után.

ECC digitális aláírások: ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm)

Az Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) az ECC alapú digitális aláírási mechanizmus, amely a hagyományos DSA (Digital Signature Algorithm) ellipszisgörbe alapú változata. Az ECDSA széles körben elterjedt, mivel kisebb aláírásméretet és gyorsabb számításokat tesz lehetővé, mint az RSA alapú aláírások, miközben azonos biztonsági szintet nyújt. Kiemelkedő szerepet játszik a blokklánc technológiákban (például a Bitcoin és Ethereum tranzakciók hitelesítésében), valamint a TLS/SSL protokollokban.

A digitális aláírás célja az üzenetek hitelességének és sértetlenségének biztosítása, valamint a letagadhatatlanság garantálása. Az aláíró a privát kulcsával hozza létre az aláírást, amelyet bárki ellenőrizhet a hozzá tartozó nyilvános kulccsal.

Tegyük fel, hogy Alice szeretne egy üzenetet (M) digitálisan aláírni, hogy Bob ellenőrizhesse annak hitelességét. Alice-nek van egy privát kulcsa dA és egy nyilvános kulcsa QA = dA * G. Bob ismeri Alice nyilvános kulcsát QA és az ellipszisgörbe domain paramétereit.

Az ECDSA aláírási folyamata (Alice részéről):

1. Üzenet hash-elése:
   • Alice először hash-eli az üzenetet (M) egy kriptográfiai hash függvénnyel (pl. SHA-256), hogy egy rövid, fix hosszúságú üzenetlenyomatot (h) kapjon. A hash érték z-vé alakul, amely egy egész szám, és megegyezik a hash érték első n bitjével, ahol n az alap pont rendje.
2. Véletlenszerű nonce generálása:
   • Alice véletlenszerűen kiválaszt egy ideiglenes, titkos egész számot (ún. nonce-t): k (1 < k < n). Fontos, hogy ez a k minden aláíráshoz egyedi és titkos legyen. Ugyanazon k érték kétszeri használata vagy a k kiszivárogtatása lehetővé tenné a privát kulcs dA visszafejtését!
3. R pont számítása:
   • Alice kiszámítja az alap pont G és a nonce k skalárszorzatát: P = k * G.
   • Ennek a pontnak az x-koordinátáját modulo n veszi: r = P.x mod n. Ha r = 0, akkor új k-t kell generálni.
4. S érték számítása:
   • Alice kiszámítja az s értéket a következő képlettel:
   • s = (z + r * dA) * k^(-1) mod n
   • Itt k^(-1) a k multiplikatív inverze modulo n. Ha s = 0, akkor új k-t kell generálni.
5. Aláírás elkészítése:
   • Az aláírás az (r, s) számpár. Alice elküldi az (M, r, s) csomagot Bobnak.

Az ECDSA ellenőrzési folyamata (Bob részéről):

1. Üzenet hash-elése:
   • Bob megkapja az (M, r, s) csomagot.
   • Bob ugyanazt a hash függvényt használja, mint Alice, hogy kiszámítsa az M üzenet hash értékét (z).
2. Aláírás érvényességének ellenőrzése:
   • Bob ellenőrzi, hogy r és s a 1 és n-1 közötti tartományba esik-e. Ha nem, az aláírás érvénytelen.
3. Segédértékek számítása:
   • Bob kiszámítja w = s^(-1) mod n-t.
   • Bob kiszámítja u1 = z * w mod n-t.
   • Bob kiszámítja u2 = r * w mod n-t.
4. Ellenőrző pont számítása:
   • Bob kiszámítja a P' = u1 * G + u2 * QA pontot.
   • Mivel QA = dA * G, ezért P' = u1 * G + u2 * (dA * G) = (u1 + u2 * dA) * G.
5. Aláírás hitelesítése:
   • Ha P' = O (végtelenben lévő pont), akkor az aláírás érvénytelen.
   • Ellenkező esetben Bob összehasonlítja P' x-koordinátáját r-rel: P'.x mod n == r.
   • Ha a két érték megegyezik, az aláírás érvényes. Ez azt jelenti, hogy az üzenetet valóban Alice írta alá, és az nem módosult az átvitel során.

Az ECDSA biztonsága azon alapul, hogy a dA privát kulcsot rendkívül nehéz visszafejteni az aláírásból és Alice nyilvános kulcsából. A k nonce kritikus szerepet játszik; ha nem véletlenszerű, vagy újra felhasználják, a privát kulcs kiszivároghat. Emiatt a k generálásához erősen ajánlott egy determinisztikus ECDSA (RFC 6979) megközelítés, amely a hash értékből és a privát kulcsból származtatja a k-t, így elkerülhető a rossz véletlenszám-generálás okozta sebezhetőség.

Az ECC biztonsága és kulcsméret-összehasonlítás

Az elliptikus görbe kriptográfia (ECC) biztonsága az elliptikus görbe diszkrét logaritmus probléma (ECDLP) nehézségén alapul. Ahogy már említettük, az ECDLP azt jelenti, hogy rendkívül nehéz meghatározni a k egész számot, ha ismerjük az alap pontot G-t és a belőle származtatott Q = kG pontot az ellipszisgörbén. Ez a probléma matematikailag sokkal nehezebb, mint a hagyományos diszkrét logaritmus probléma (DLP) vagy a nagy számok faktorizálása, amelyek az RSA és a hagyományos Diffie-Hellman algoritmusok alapját képezik.

Ennek a matematikai nehézségnek köszönhetően az ECC sokkal kisebb kulcsméretekkel képes elérni ugyanazt a biztonsági szintet, mint a hagyományos aszimmetrikus algoritmusok. Ez az egyik legfőbb oka annak, hogy az ECC annyira népszerűvé vált.

Kulcsméret-összehasonlítás

Az alábbi táblázat szemlélteti az ECC kulcsméreteinek előnyeit a hagyományos RSA algoritmushoz képest, azonos biztonsági szint elérésekor:

RSA kulcsméret (bit)	ECC kulcsméret (bit)	Megközelítőleg azonos biztonsági szint
1024	160	80 bit (már nem ajánlott)
2048	224	112 bit
3072	256	128 bit
7680	384	192 bit
15360	512	256 bit

Ahogy a táblázatból is látszik, egy 256 bites ECC kulcs azonos biztonsági szintet nyújt, mint egy 3072 bites RSA kulcs. Ez a drámai különbség jelentős teljesítménybeli előnyökkel jár:

• Gyorsabb számítások: Kisebb kulcsokkal a titkosítási, visszafejtési és aláírási műveletek sokkal gyorsabban elvégezhetők.
• Kevesebb energiafogyasztás: A gyorsabb számítások kevesebb CPU-ciklust és ezáltal kevesebb energiát igényelnek, ami kritikus mobil eszközökön és IoT-alkalmazásokban.
• Kisebb tárhelyigény: A kulcsok és az aláírások rövidebbek, ami kevesebb memóriát és tárhelyet foglal el.
• Alacsonyabb sávszélesség-igény: Az aláírások és titkosított adatok kisebb mérete csökkenti a hálózati forgalmat, ami gyorsabb kommunikációt eredményez.

Az ECDLP nehézsége és a támadások

Az ECDLP nehézsége abból adódik, hogy az ellipszisgörbék pontjainak halmaza egy rendkívül komplex, nemlineáris struktúrát alkot, ahol a "lépések" (pontösszeadások) nem viselkednek előre jelezhető módon. Nincsenek ismert szubexponenciális algoritmusok az ECDLP megoldására, szemben a hagyományos DLP-vel vagy a faktorizálással, amelyekre léteznek ilyen algoritmusok (pl. number field sieve). A leghatékonyabb ismert támadások az ECDLP ellen exponenciális komplexitásúak, mint például a Pollard's rho algoritmus, amelynek futási ideje a görbe rendjének (n) négyzetgyökével arányos. Ezért van szükség n-nek nagy prímszámnak lennie.

Fontos megjegyezni, hogy az ECC biztonsága erősen függ a görbe paramétereinek helyes kiválasztásától. A nem megfelelő görbék (pl. gyenge, speciális tulajdonságokkal rendelkező görbék) sebezhetővé tehetik a rendszert. Ezért a szabványosított, szakértők által alaposan elemzett görbék használata elengedhetetlen (pl. NIST által ajánlott görbék, Curve25519, secp256k1).

Kvantumszámítógépek és az ECC jövője

Mint minden nyilvános kulcsú kriptográfiai algoritmus, az ECC is sebezhető a kvantumszámítógépek által. A Shor-algoritmus elméletileg képes az ECDLP-t polinomiális időben megoldani, ami azt jelentené, hogy a jelenlegi ECC rendszerek a kvantumszámítógépek megjelenésével teljesen feltörhetők lennének. Ez azonban még a jövő zenéje.

Jelenleg még nincsenek olyan kvantumszámítógépek, amelyek képesek lennének feltörni a modern ECC kulcsokat. A kriptográfiai kutatás aktívan dolgozik az úgynevezett poszt-kvantum kriptográfiai (PQC) algoritmusokon, amelyek ellenállnak a kvantumszámítógépek támadásainak. Addig is az ECC továbbra is a legbiztonságosabb és leghatékonyabb nyilvános kulcsú kriptográfiai megoldás számos alkalmazásban.

Az ECC alkalmazási területei és előnyei

Az elliptikus görbe kriptográfia (ECC) széles körben elterjedt a modern digitális világban, köszönhetően a hagyományos nyilvános kulcsú algoritmusokkal szembeni jelentős előnyeinek, különösen a hatékonyság és a biztonság terén. Kisebb kulcsméretei és gyorsabb számításai ideális választássá teszik számos erőforrás-korlátozott vagy nagy teljesítményt igénylő környezetben.

Főbb alkalmazási területek:

1. SSL/TLS (HTTPS):
   • A legtöbb weboldal, amely HTTPS-t használ, az ECC-t alkalmazza a kulcscseréhez (ECDH) és a digitális aláírásokhoz (ECDSA) a TLS protokollban. Ez biztosítja a böngésző és a szerver közötti kommunikáció titkosságát, integritását és hitelességét. Az ECC használata gyorsabb oldalbetöltést és alacsonyabb szerverterhelést eredményez.
2. Kriptovaluták és blokklánc technológia:
   • Az ECC alapvető fontosságú a legtöbb kriptovaluta, például a Bitcoin és az Ethereum működésében. Az ECDSA-t használják a tranzakciók digitális aláírására, igazolva a pénzforgalom hitelességét és azt, hogy csak a privát kulcs tulajdonosa költheti el az adott összeget. A secp256k1 görbe a Bitcoin szabványa.
3. Digitális aláírások és tanúsítványok:
   • Az X.509 digitális tanúsítványok, amelyeket a weboldalak, szoftverek és e-mailek hitelesítésére használnak, gyakran ECC alapú kulcsokat és aláírásokat alkalmaznak. Ez gyorsabb ellenőrzést és kisebb tanúsítványfájlokat eredményez.
4. Mobil kommunikáció és IoT (Internet of Things):
   • Az okostelefonok, táblagépek és az egyre növekvő számú IoT eszköz (okosotthoni szenzorok, viselhető eszközök) gyakran korlátozott számítási kapacitással, memóriával és akkumulátor-élettartammal rendelkeznek. Az ECC kisebb kulcsméretei és alacsonyabb energiaigénye ideálissá teszi ezeknek az eszközöknek a biztonságos kommunikációját.
5. VPN-ek (Virtuális Magánhálózatok):
   • A VPN-protokollok, mint például az IKE (Internet Key Exchange) és az IPsec, gyakran használnak ECDH-t a biztonságos kulcscseréhez a VPN-alagút felépítésekor.
6. Biztonságos üzenetküldő alkalmazások:
   • Számos end-to-end titkosítást használó üzenetküldő alkalmazás (pl. Signal, WhatsApp) az ECC-re támaszkodik a kulcscseréhez és az üzenetek titkosításához, biztosítva a felhasználók közötti kommunikáció bizalmasságát.
7. Kódaláírás:
   • Szoftverek, firmware-ek és operációs rendszerek komponenseinek digitális aláírására is használják az ECC-t, hogy garantálják azok eredetiségét és sértetlenségét.

Az ECC főbb előnyei összefoglalva:

• Kisebb kulcsméretek: Azonos biztonsági szintet nyújt sokkal rövidebb kulcsokkal, mint az RSA.
• Gyorsabb teljesítmény: A kisebb kulcsok és az optimalizált algoritmusok gyorsabb titkosítási, visszafejtési és aláírási műveleteket tesznek lehetővé.
• Alacsonyabb erőforrás-igény: Kevesebb CPU-időt, memóriát és sávszélességet fogyaszt, ami ideális mobil, beágyazott és IoT rendszerek számára.
• Magasabb biztonság per bit: Az ECDLP nehézsége miatt az ECC hatékonyabban ellenáll a brute-force és egyéb klasszikus kriptoanalitikai támadásoknak.
• Előretekintő titkosság (Forward Secrecy): Az ECIES és az ECDH efemerális kulcsok használatával biztosítja, hogy egy privát kulcs későbbi kompromittálódása ne tegye lehetővé a korábbi kommunikációk visszafejtését.

Ezek az előnyök teszik az ECC-t a modern kriptográfia egyik sarokkövévé, amely számos digitális biztonsági megoldás alapját képezi, és várhatóan még hosszú ideig az élvonalban marad, amíg a kvantumszámítógépek nem jelentenek gyakorlati fenyegetést.

Az ellipszisgörbe kriptográfia kihívásai és jövőbeli kilátásai

Bár az elliptikus görbe kriptográfia (ECC) számos előnnyel jár, és széles körben alkalmazott technológia, nem mentes a kihívásoktól és a fejlesztési területektől. Ezeknek a kihívásoknak a megértése kulcsfontosságú a technológia jövőjének és a biztonságos implementációjának szempontjából.

Főbb kihívások:

1. Matematikai komplexitás:
   • Az ECC matematikai alapjai (absztrakt algebra, véges testek, algebrai geometriai görbék) lényegesen bonyolultabbak, mint az RSA alapját képező prímszám faktorizálás. Ez megnehezíti a fejlesztők és a biztonsági szakemberek számára a mélyreható megértést és a hibák kiszűrését.
2. Implementációs nehézségek és sebezhetőségek:
   • A komplex matematika miatt az ECC implementálása rendkívül érzékeny a hibákra. Egy apró programozási hiba vagy helytelen paraméterválasztás súlyos biztonsági réseket okozhat.
   • Oldalcsatornás támadások (Side-channel attacks): Az ECC műveletei során keletkező fizikai mellékhatások (pl. energiafogyasztás, időzítés, elektromágneses sugárzás) elemzésével a támadók potenciálisan visszafejthetik a privát kulcsot. Az ilyen támadások elleni védelem (ún. "side-channel countermeasures") bonyolítja az implementációt és csökkentheti a teljesítményt.
   • Nonce (k) generálás: Ahogy az ECDSA-nál láttuk, a k véletlen szám generálása kritikus. Ha nem megfelelő véletlenszerűséget vagy determinisztikus módszert használnak, vagy ha ugyanazt a k-t kétszer használják, az a privát kulcs kiszivárgásához vezethet.
3. Görbe paraméterek kiválasztása:
   • A görbe paramétereinek (a, b, p, G, n, h) kiválasztása kritikus a biztonság szempontjából. A "gyenge" görbék (pl. olyanok, amelyekhez speciális támadások léteznek) használata veszélyeztetheti a rendszert. Emiatt a szabványosított, szakértők által elemzett görbék (NIST görbék, Curve25519, secp256k1) használata elengedhetetlen. Azonban még a szabványosított görbék esetében is felmerülhetnek bizalmi kérdések (pl. a NIST görbék generálásába való esetleges hátsó ajtók gyanúja).

Jövőbeli kilátások és a kvantumfenyegetés:

Az ECC jelenleg rendkívül erősnek számít a klasszikus számítógépek támadásaival szemben. Azonban a kvantumszámítógépek fejlődése jelenti a legnagyobb jövőbeli fenyegetést.

• Kvantumszámítógépek: A Shor-algoritmus elméletileg képes az ECDLP-t polinomiális időben megoldani, ami azt jelenti, hogy a nagyméretű, hibatűrő kvantumszámítógépek megjelenésével az összes jelenlegi ECC alapú titkosítás és aláírás feltörhetővé válna.
• Poszt-kvantum kriptográfia (PQC): A kutatók és a szabványügyi szervezetek (pl. NIST) intenzíven dolgoznak olyan PQC algoritmusok fejlesztésén és szabványosításán, amelyek ellenállnak a kvantumszámítógépes támadásoknak. Ezek az algoritmusok gyakran rács-alapú, hash-alapú vagy kód-alapú kriptográfiára épülnek.
• Hibrid megközelítések: A kvantumátállás során valószínűleg hibrid rendszerek fognak megjelenni, amelyek egyszerre használnak klasszikus (pl. ECC) és poszt-kvantum algoritmusokat, hogy mindkét típusú támadás ellen védelmet nyújtsanak, és fokozatos átmenetet biztosítsanak.

Annak ellenére, hogy a kvantumszámítógépek hosszú távon fenyegetést jelentenek, az ECC továbbra is a legbiztonságosabb és leghatékonyabb nyilvános kulcsú kriptográfiai megoldás a mai digitális infrastruktúra nagy részében. A fejlesztések a biztonságos implementációk, a szabványosítás és a PQC felé mutatnak, biztosítva, hogy a digitális kommunikáció és adatok továbbra is védettek maradjanak a jövő kihívásaival szemben.